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Cantor e la matematica del paradiso

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Cantor e la matematica del paradiso

  • –Umberto Bottazzini

«La matematica è la scienza dell’infinito», ha esordito in una conferenza Hermann Weyl, uno dei più grandi matematici del secolo scorso. L’infinito vi si presenta fin dalla successione dei numeri naturali 1, 2, 3, … ad infinitum, dicevano gli Antichi per indicare che la successione continua senza fine. Ma l’infinito compare anche nelle successioni infinite di numeri che definiscono i numeri irrazionali come √2 o π . Anzi, è stata proprio con la scoperta da parte dei Pitagorici dell’esistenza di numeri irrazionali che l’infinito ha fatto irruzione in matematica. Ad Aristotele risale la distinzione tra infinito potenziale (ad es. quello in divenire della successione dei numeri naturali) e infinito attuale, come quello costituito dai punti di una retta (o di un intervallo) considerati come una totalità data in modo completo. E per secoli i filosofi scolastici hanno ripetuto la lezione aristotelica che infinitum in actu non datur, non si dà infinito in atto.

È stato solo grazie a Georg Cantor, uno dei “più grandi e geniali matematici di ogni tempo e paese”, che il concetto di infinito attuale ha acquisito diritto di cittadinanza in matematica, dove ormai si parla di infiniti al plurale o, come diceva Weyl in quella conferenza, di “livelli di infinito”. Nato nel 1845 a Pietroburgo da un ricco e colto mercante di origine danese e da una madre russa cresciuta in una famiglia di celebri musicisti, Cantor frequenta il ginnasio in Germania dove la famiglia si è trasferita quando ha undici anni. A Berlino segue i corsi di Weierstrass, Kummer e Kronecker, il “triumvirato” dei più autorevoli matematici del tempo. Conclusi gli studi con una tesi di dottorato su un argomento di teoria dei numeri, nel 1869 ottiene un posto di libero docente (Privatdozent) all’università di Halle. Ma ad Halle le sue ricerche prendono una direzione completamente nuova.

In lavori che destano l’ammirazione dei contemporanei Cantor affronta con successo delicate questioni di analisi che coinvolgono insiemi infiniti di punti e getta le basi della sua grandiosa teoria degli insiemi transfiniti. Data la successione dei numeri naturali e la totalità dei punti di un intervallo o, che è lo stesso, la totalità dei numeri reali, è possibile stabilire una corrispondenza tra queste due collezioni di numeri in modo tale che a ogni elemento di una corrisponda uno e solo uno elemento dell’altra e viceversa (siano in corrispondenza biunivoca, dicono oggi i matematici)? È la domanda che nel novembre 1873 egli rivolge all'amico Richard Dedekind. «A prima vista direi di no», ma «non riesco a trovarne la ragione», confessa Cantor. Solo dopo un anno di tentativi riesce a dimostrare che sono due infinità di tipo diverso, e quella corrispondenza non si può stabilire. «Nello stesso ordine di idee», egli chiede ancora a Dedekind, «è possibile mettere in corrispondenza biunivoca una superficie (per es. un quadrato compreso il perimetro) e una linea (per es. un segmento compresi gli estremi)?» Problema ridicolo e assurdo, hanno decretato i matematici di Berlino ai quali l’ha sottoposto. Ma tre anni dopo, quando scrive a Dedekind di aver trovato la dimostrazione di quel fatto sorprendente, che sembra mettere in discussione il concetto di dimensione, non può trattenersi dall’esclamare: «Lo vedo ma non lo credo!».

Ormai le sue ricerche sono giunte a un punto tale, afferma Cantor nell’articolo Fondamenti di una teoria generale delle molteplicità (1883), che non sarebbe possibile fare «il benché minimo passo in avanti» senza estendere all’infinito il concetto di numero, e creare una nuova classe di numeri transfiniti, numeri dall’aritmetica peculiare in cui non vale la proprietà commutativa dell’addizione e della moltiplicazione. Che tipo di realtà si può attribuire a quei numeri? La risposta di Cantor è affidata alla convinzione che «nel suo sviluppo la matematica è completamente libera», con l’unico vincolo che i nuovi concetti siano non contraddittori e in relazioni ben fissate con concetti già esistenti e sicuri. In una parola, «l’essenza della matematica risiede proprio nella sua libertà».

Nel 1884 Cantor soffrì una crisi di origine nervosa: era il primo manifestarsi di una malattia che lo costringerà a trascorrere lunghi periodi in una clinica per malattie mentali di Halle, dove morì il 6 gennaio 1918. Certo, l’indifferenza se non l’ostilità con cui furono accolti i suoi lavori, coniugata all’impossibilità di ottenere una cattedra in una università prestigiosa come Berlino o Gottinga, favorirono lo stato di depressione che annunciò la crisi. A ciò si aggiunse il consiglio del direttore della rivista in cui aveva pubblicato i suoi lavori sugli insiemi infiniti, di ritirare una grande memoria sui numeri ordinali transfiniti perché la sua pubblicazione sarebbe risultata incomprensibile ai matematici e prematura di oltre un secolo. Amareggiato, Cantor abbandonò la matematica per dedicarsi alla filosofia e alla teologia, intrattenendo corrispondenze con uomini di Chiesa, gesuiti e cardinali neotomisti che, dopo l’enciclica Æterni patris di Leone XIII, si erano rivelati gli interlocutori più attenti alle sue teorie che rinnovavano lontane dispute sull’infinito attuale della tradizione scolastica. Al tempo stesso, Cantor si impegnò a fondo in una questione di natura letteraria allora assai dibattuta, convinto di aver ottenuto la prova che Francis Bacon era in realtà il vero autore delle opere di Shakespeare.

Ma più che fare i conti con fantasmi del passato a Cantor premeva il confronto con i matematici contemporanei come Kronecker, suo antico maestro a Berlino, che considerava legittime solo le operazioni algebriche su quantità finite, negava l’esistenza dei numeri irrazionali, e riteneva i numeri transfiniti delle pure illusioni, se non delle vere e proprie sciocchezze, come amava ripetere in privato. Per Cantor invece i suoi numeri transfiniti erano in un certo senso dei “nuovi irrazionali”.

Egli ritornò sulla questione nel 1891 in una comunicazione al primo congresso della Società matematica tedesca, di cui era stato eletto presidente. Le sue teorie troveranno forma compiuta nella sua ultima, grande memoria, Contributi alla fondazione della teoria degli insiemi transfiniti (1895 e 1897) che rappresenta l’atto di nascita della moderna teoria degli insiemi astratti. Definito un insieme M come una collezione in un tutto di ben determinati oggetti dell’intuizione o del pensiero, con successivi atti di astrazione Cantor definiva il numero cardinale di M e sviluppava la teoria dei numeri cardinali, ai suoi occhi non solo “il fondamento più naturale” della teoria dei numeri finiti ma anche quello dei numeri transfiniti. Alla totalità dei numeri naturali 1, 2, 3, … era infatti associato il primo numero cardinale transfinito, aleph-zero, dal quale si poteva dedurre una successione infinita di alephs con un procedimento di generazione di numeri transfiniti che poteva esser continuato “senza fine”. Qual era il posto da assegnare in quella successione alla cardinalità del continuo, ossia della totalità dei numeri reali? Cantor avanzava l'ipotesi che fosse la prima cardinalità più grande di aleph-zero. Con le parole di Hilbert, «ogni insieme infinito di numeri o di punti è equivalente o all’insieme dei numeri naturali 1,2, 3, … oppure all’insieme di tutti i numeri reali».

L’ipotesi del continuo di Cantor, che apre l’elenco dei problemi «per le generazioni future» presentato da Hilbert al Congresso Internazionale di Matematici a Parigi nel 1900, troverà risposta solo nel 1963 con la dimostrazione di Paul Cohen della sua indipendenza dagli assiomi della teoria degli insiemi. Infatti, dopo che l’antinomia scoperta da Russell nel 1902 inaugurò la cosiddetta “crisi dei fondamenti” della matematica, la teoria degli insiemi naive, come fu chiamata quella creata da Cantor, venne riformulata in termini assiomatici per porla al riparo da antinomie e paradossi. E far in modo che, come dichiarò Hilbert nel 1922, «nessuno potrà mai cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi».

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