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Matematica indimostrabile
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| (Domenica, 16 gennaio 2005) |
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| di Freeman Dyson
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Siccome sono un matematico, a questa domanda do una risposta precisa. Grazie a Kurt Gödel, sappiamo che esistono affermazioni matematiche vere che non si possono dimostrare. Ma io voglio qualcosa di più. Voglio un'affermazione che sia vera, non dimostrabile e abbastanza semplice da essere capita anche dai non matematici. Eccola. I numeri che sono potenze esatte di due sono 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 e così via. I numeri che sono potenze esatte di cinque sono 5, 25, 125, 625 e così via. Prendiamo un numero qualsiasi, per esempio 131072 (una potenza di due), e invertiamolo mettendone le cifre nell'ordine opposto: 270131.
Ecco la mia affermazione: non succede mai che l'inverso di una potenza di due sia una potenza di cinque. Le cifre in una grande potenza di due sembrano disposte a caso, senza alcuna regolarità. Se mai accadesse che l'inverso di una potenza di due fosse una potenza di cinque, si tratterebbe di un evento improbabile: la probabilità che accada diventa rapidamente più bassa man mano che il numero diventa più grande. Se partiamo dall'assunto che le cifre si dispongono a caso, la probabilità che l'evento accada per qualsiasi potenza di due superiore a un miliardo è meno di una su un miliardo.
È facile controllare che non accade per potenze di due inferiori a un miliardo. Quindi la probabilità che accada mai è minore di una in un miliardo. Ecco perché credo che la mia affermazione sia vera. Tuttavia l'assunto che in una grande potenza di due le cifre si dispongono a caso implica anche che l'affermazione non è dimostrabile. Qualsiasi prova dovrebbe basarsi su una qualche proprietà non casuale delle cifre. L'assunto di casualità significa che l'affermazione è vera solo perché le probabilità sono favorevoli. Non può essere dimostrata perché non esiste una ragione matematica profonda per cui dev'essere vera.
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